證明:若 c 為 a 與 b 之共同因數,則 c 為 gcd(a,b) 之因數。
作者:gugod 發佈於: ,更新於: #math此處 gcd(a,b) 為 a 與 b 之最大公因數之表記。
因 c 為 a, b 之因數,可知有兩整數 m, n 使得:
a = mc
b = nc
令 d = gcd(a,b)。依 Bézout's identity,可知存在有兩整數 x, y 使得:
d = xa + yb
將 a 與 b 代換後,得:
d = xmc + ync
= (xm + yn)c
因 d 為 a,b 之最大公因數, d ≥ c > 0 。 xm + yn 必為正。
因 m, n, x, y 全為整數,xm + yn 必為整數。
綜合上述兩點,xm + yn 為正整數。d 為 c 之倍數。亦即 c 為 gcb(a,b) 之因數。證明完畢。